题目内容

已知B是椭圆 $数学公式$ ＞b＞0）上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥x轴， $数学公式$ ．
（I）求椭圆E的方程；
（II）设A₁和A₂是长轴的两个端点，直线l垂直于A₁A₂的延长线于点D，|OD|=4，P是l上异于点D的任意一点，直线A₁P交椭圆E于M（不同于A₁，A₂），设 $数学公式$ ，求λ的取值范围．

解：（I）由题意，c=1，左焦点为F′（-1，0），则2a=|BF|+|BF′|
∵ $\text{[math]}$ ，∴|BF|= $\text{[math]}$ ，|BF′|= $\text{[math]}$
∴2a=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ；
（II）由（I）知A₁（-2，0），A₂（2，0），设M（x₀，y₀），则 $\text{[math]}$
∵P，M，A₁三点共线，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =2（x₀+2）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2-x₀）
∵2＜x₀＜2，∴ $\text{[math]}$ （2-x₀）∈（0，10）
∴λ的取值范围为（0，10）．
分析：（I）由题意，c=1，左焦点为F′（-1，0），求出|BF|，|BF′|，利用2a=|BF|+|BF′|，即可求得椭圆E的方程；
（II）确定M，P的坐标，求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，表示出 $\text{[math]}$ ，即可求得λ的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，正确表示向量的坐标，利用向量的数量积公式是关键．