Question

（2008•上海模拟）已知AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P₁，P₂，…，P_n-1，设左焦点为F₁，则

lim

n→∞

1

n

(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)=

a

．

Answer 1

分析：由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，由此求得|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|的值，而|F₁A|+|F₁B|=2a，从而求得|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|的值，代入要求的式子求出结果．

解答：解：设右焦点为F₂，由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，
由题意知 点P₁，P₂，…，P_n-1关于y轴成对称分布，
∴|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|=

n-2

i=1

(|F1Pi|)=

1

2

n-2

i=1

(|F1Pi|+|F2Pi|)=(n-2)•a=（n-2）a，
而|F₁A|+|F₁B|=2a，
故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=na-4+4=na，
∴

lim

n→∞

1

n

(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)=

lim

n→∞

1

n

(na)=a，
故答案为：a．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求数列的极限，求出故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=na 是解题的关键和难点，属于难题．