Question

已知△ABC是椭圆

y2

9

+

x2

b2

=1(0＜b＜3)的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．
（1）求A，B，C三点到F距离之和；
（2）若

OB

+

OC

=(1，-

8

3

)，求椭圆的方程和直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则|AF|=a-ey₁，|BF|=a-ey₂，|CF|=a-ey₃，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y₁+y₂+y₃），由△ABC的重心在原点O，知

y1+y2+y3

3

=0，再由a=3能导出|AF|+|BF|+|CF|的值．
（2）设直线AO交BC于M，交椭圆于N，|OM|=

1

2

|OA|=

1

2

|ON|，又|BM|=|MC|，所以四边形OBNC为平行四边形，由此入手能够得到椭圆的方程和直线BC的方程．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
，则|AF|=a-ey₁，|BF|=a-ey₂，|CF|=a-ey₃，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y₁+y₂+y₃），（3分）
因为△ABC的重心在原点O，∴

y1+y2+y3

3

=0，
又a=3，
∴|AF|+|BF|+|CF|=9；（5分）
（2）设直线AO交BC于M，交椭圆于N，
因为△ABC的重心在原点O，
∴|OM|=

1

2

|OA|=

1

2

|ON|，
又|BM|=|MC|，
所以四边形OBNC为平行四边形，（7分）
∴

OB

+

OC

=

ON

=(

8

3

，1)，点N的坐标为(

8

3

，1)，
代入椭圆方程得，b²=8，椭圆的方程

y2

9

+

x2

8

=1，（9分）
结合x2+x3=

8

3

，y2+y3=1，
由

y22

9

+

x22

8

=1，

y32

9

+

x32

8

=1，相减得，kBC=

y3-y2

x3-x2

=-3，（11分）
所以直线BC的方程y-

1

2

=-3(x-

4

3

)，即6x+2y-9=0．（12分）

点评：本题考查椭圆第二定义、焦半径公式、三角形重心坐标公式、向量加法几何意义、及坐标运算、点差法等．
规律总结：（1）若P（x，y）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，则P到左焦点F₁与到右焦点F₂的距离即焦半径分别为|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex；若P（x，y）为椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，则P到下焦点F₁与到上焦点F₂的距离即焦半径分别为|PF₁|=a+ey，|PF₂|=a-ey；（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则三角形△ABC重心坐标公式x=

x1+x2+x3

3

，y=

y1+y2+y3

3

；（3）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），k_AB表示椭圆以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为端点的弦AB的斜率，令M（X₀，Y₀）为弦AB的中点，M与椭圆中心O连线的斜率为k_OM，则有kOM•kAB=-

b2

a2

；对于双曲线：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），同理可得kOM•kAB=

b2

a2

；对于抛物线x²=±2py或y²=±2px，也可有kOM×kAB=±

x0

p

或kOM× kAB=±

p

y0

．在研究直线与二次曲线问题时，将这结论适当加以应用，常会使问题的解决变得很简便．