Question

如图所示，平面ABC，CE//PA，PA=2CE=2。 
（1）求证：平面平面APB；  （2）求二面角A—BE—P的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ) 

（1）取AB，PB的中点G，F连接CG，GF，FE，
则GF//PA，且又CE//PA，，
所以CE//GF，且CE=GF，所以四边形GFEC是平行四边形，
所以EF//CG。,又AC=BC，AG=GB，
所以，又PA面ABC，得CGPA，，
所以，CG面PAB，因此，EF面PAB，又面EPB，
所以平面EPB平面APB。  
  （2）在平面PAB内过点Ａ作ＡＢPB于点H，
因为平面EPB平面APB，
又平面EPB平面APB=PB，
所以AH平面EPB，取EB的中点M，
连接AM，MH， 因为AB=AE=，   所以AMEB，
故由三垂线定理的逆定理可知，HMEB，
因此为二面角A—BE—P的平面角。  
在，PA=2，
所以在中，AB=BE=EA=，
所以 
因此，二面角A—BE—P的正弦值为