Question

【题目】已知函数（）.

（1）求函数的单调区间；

（2）试问：函数图像上是否存在不同两点，使得在处的切线平行于直线，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）结合函数的解析式可得，据此可得在上单调递增，在上单调递减.

（2）假设存在两点，不妨设，则，且函数在处的切线斜率，据此整理计算有： ，令，则，则：，，利用导函数研究函数的性质可得在内不存在，使得 ，则函数图象上是不存在满足题意的点.

试题解析：

（1）由，又 得

故，当时，，当时，

在上单调递增，在上单调递减；

（2）假设存在两点，不妨设，则：

，

，

故=，

在函数图象处的切线斜率，

得： ，

化简得：， ，

令，则，上式化为：，即，

若令，，

由， 在上单调递增，，

这表明在内不存在，使得 .

综上，函数图象上是不存在不同两点，使得 在处的切线平行于直线.