Question

【题目】已知点 ，椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜率为， 为坐标原点.

（1）求 的方程；

（2）设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点，当 的面积最大时，求 的方程.

Answer 1

【答案】(1) 的方程为;(2) 的方程为 或.

【解析】试题分析：（1）首先设，根据直线的斜率可列式，求。再根据离心率求，最后根据求 ，得到椭圆方程；（2）设直线的方程是与椭圆方程联立后得到根与系数的关系，求弦长，以及点到直线的距离，将面积表示为的函数，换元后求函数的最值，以及取得最值时的直线方程.

试题解析：（1）设 ，由条件知， ，得

又 ，所以 ，

故 的方程为

（2）当 轴时不合题意，

故可设： ， ，

将 代入 得 ，

当 ，即 时，

从而

又点 到直线 的距离

所以 的面积

设 ，则 ，

因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，满足

所以，当 的最大面积时，， 的方程为 或