Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2（n-1）}$，（n∈N^*，n≥2）
（1）求证：数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$+1}为等比数列并求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2ⁿ-1）a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，求证：a_n≤T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2（n-1）}$化简可知$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$+1=2（$\frac{n}{{a}_{n}}$+1），进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加可知T_n=$\frac{2n}{n+1}$，比较分母即得结论．

解答 证明：（1）∵a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2（n-1）}$，
∴$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{n+1}{\frac{（n+1）{a}_{n}}{{a}_{n}+2n}}$+1=$\frac{{a}_{n}+2n}{{a}_{n}}$+1=2（$\frac{n}{{a}_{n}}$+1），
∴数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$+1}为等比数列，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n}{-1+{2}^{n}}$；
（2）由（1）可知b_n=（2ⁿ-1）a_n=n，
则数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$，
∵a_n=$\frac{n}{-1+{2}^{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}-2}$，且当n≥2时，n+1≤2ⁿ⁺¹-2，
∴a_n≤T_n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．