题目内容
（2012•泰安一模）F1、F2为双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
分析：先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点M的坐标，结合∠MAB=30°求出a，b之间的关系，进而求出离心率即可．
解答：
解：由题得以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为：c；
故圆的标准方程为：x2+y2=c2；
又双曲线的其中一条渐近线方程为：y=
x
联立
可得：
，即M（a，b）．
故MB垂直于AB；
所以tan∠MAB=
=
=tan30°；
即⇒
=
⇒
=
=
=
．
故双曲线的离心率为
．
故答案为：
．
解：由题得以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为：c；故圆的标准方程为：x2+y2=c2；
又双曲线的其中一条渐近线方程为：y=
| b |
| a |
联立
|
|
故MB垂直于AB；
所以tan∠MAB=
| MB |
| AB |
| b |
| 2a |
即⇒
| b |
| a |
2
| ||
| 3 |
| c |
| a |
|
|
| ||
| 3 |
故双曲线的离心率为
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
点评：本题主要考察双曲线的简单性质．解决本题得关键在于根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点M的坐标，结合∠MAB=30°求出a，b之间的关系．
练习册系列答案
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