Question

【题目】已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．

（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；

（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；

（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；

（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；

（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.

（1）由题意，得，

，

∴，∴双曲线的方程为，

∴，∴；

（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】

设，、，

将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，

则，得，

，

令，，则，

其中在上单调递减，

∴在上单调递增，

∴当时，取得最小值，此时，的方程为；

（3）设，其中

方法一：设，与联立，

可求出，

由三阶行列式表示的三角形面积公式

可得

．

方法二：如图，，

设到和的距离为、，

则，，

∴