Question

【题目】已知椭圆的离心率，两焦点分别为，右顶点为， .

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设过定点的直线与双曲线的左支有两个交点，与椭圆交于两点，与圆交于两点，若的面积为， ，求正数的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可得，又∵，即可得解.

（Ⅱ）由可得， 结合直线与双曲线的左支有两个交点，∴必有. ∴.可得.

试题解析：（Ⅰ）由已知，不妨设， ，

∴，即，

又∵， ∴，∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）依题设，如图，直线的斜率存在，设， ，

由得，

即，

，

∴，

点到直线的距离为,

∴,

整理得，解得或，

又由直线与圆相交，有，解得，

依题设，直线与双曲线的左支有两个交点，∴必有. ∴.

此时， ，

∴正数.

点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．