Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F₁(－1,0)，F₂(1,0)，且椭圆C经过点P.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

解　(1)由椭圆定义知

2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝＝2.

所以a＝.

又由已知得，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.

(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y²＝1.

设点Q的坐标为(x，y)．

(i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.

(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x₁，kx₁＋2)，(x₂，kx₂＋2)，则

|AM|²＝(1＋k²)x，|AN|²＝(1＋k²)x.

又|AQ|²＝x²＋(y－2)²＝(1＋k²)x².

由得

即＝＋＝.①

将y＝kx＋2代入＋y²＝1中，得

(2k²＋1)x²＋8kx＋6＝0.②

由Δ＝(8k)²－4×(2k²＋1)×6＞0，得k²＞.

由②可知，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

代入①中并化简，得

x²＝.③

因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)²－3x²＝18.

由③及k²＞，可知0＜x²＜，

即x∈

又满足10(y－2)²－3x²＝18，

故x∈.

由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，

又由10(y－2)²＝18＋3x²有

(y－2)²∈，且－1≤y≤1，则y∈.

所以点Q的轨迹方程为10(y－2)²－3x²＝18，其中x∈，y∈.