Question

（2008•宁波模拟）在等比数列{a_n}中，a₂+a₅=18，a₃•a₄=32，且a_n+1＜a_n（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，求T_n的最大值及此时n的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

a2+a5=18 a2a5=32

，解得

a2=16 a5=2

，求出公比q的值，从而得到a_n=a₂q^n-2 的解析式．
（2）利用对数的运算性质化简 T_n为

1

2

(-n2+11n)lg2，故当n=5或n=6时，T_n最大，运算求得最大值．

解答：解：（1）由于{a_n}为等比数列，且a_n+1＜a_n ，
∴a₂a₅=a₃a₄=32，∴

a2+a5=18 a2a5=32

，∴

a2=16 a5=2

．
则q3=

a 5

a 2

=

1

8

，q=

1

2

，则a_n=a₂q^n-2=2^6-n．…（7分）
（2）T_n=lga₁+lga₂+…+lga_n=lg（a₁a₂…a_n）=lg25+4+…+(6-n)=

11-n

2

•nlg2=

1

2

(-n2+11n)lg2，
二次函数y=-n²+11n 的对称轴为 n=5.5，又n∈z，
故当n=5或n=6时，T_n最大，最大值为T₅=T₆ =15 lg2．…（14分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，对数的运算性质，等差数列的前n项和公式及其应用，属于基础题．