Question

（本小题满分14分）
已知函数，，其中．
（1）若函数是偶函数，求函数在区间上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当时，在区间上为减函数；
（3）当，函数的图象恒在函数图象上方，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）函数在区间上的最小值为
（2）设任意，且，则利用作差法，结合变形，定号，下结论得到证明，注意变形化到最简即可。
（3）

试题分析：解：（1）函数是偶函数，，


 
即函数的图象是顶点为，对称轴为且开口向下的抛物线，
在区间上递增，在区间上递减
又
 函数在区间上的最小值为．
（2）设任意，且，则


 

又

当时，函数在区间上为减函数.
（3）对于，函数的图象恒在函数图象上方，等价不等式
＞在上恒成立，
即在上恒成立，
，解得 
所求实数的取值范围为 
点评：解决的关键是根据二次函数的性质来求解证明，属于基础题。。