Question

【题目】已知函数，.

（1）记，试判断函数的极值点的情况；

（2）若有且仅有两个整数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）有极大值点，无极小值点（2）

【解析】

（1）由，令，根据，，得到存在唯一实数使得，即，再根据极值点的概念，即可求解；

（2）把不等式，可化为，即，对实数分类讨论，即可求解.

（1）由题意，函数，可得，

令，可得函数在上单调递增，

又由，，

所以存在唯一实数使得，即，

令，可得，令，可得，

所以在单调递减，在单调递增，

故为极大值点，无极小值点.

（2）由不等式，可化为，即.

①当时，由不等式有整数解，

所以函数在时，，所以有无穷多整数解.

②当时，，又由，，

所以不等式有两个整数解为，

即，解得；

③当时，，又由，

所以不等式在时大于或等于1，所以无整数解，

综上所述，可得