Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；

【解析】

（1）由已知，焦距为，解得．又在椭圆上，，又，联立解得，．

（2）当时，直线，点不在椭圆上；当时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得，若点与点关于的对称，则其中点在直线上，解得，进而判断出结论．

解：（1）由已知，焦距为，解得．

又在椭圆上，，又，

联立解得，．

故所求椭圆的方程为：．

（2）当时，直线，点不在椭圆上；

当时，可设直线，即，

代入椭圆方程整理得，

，

，

若点与点关于的对称，则其中点在直线上，

，解得．

因为此时点在直线上，

所以对称点与点重合，不合题意，所以不存在满足条件.