Question

【题目】设函数.

（1）若存在最大值，且，求实数的取值范围；

（2）令，，求证：对任意的，总存在最小值，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）先确定函数定义域，再求导可得，分情况进行讨论，根据函数的单调性，由存在最大值，且，解出实数的取值范围；（2）将代入函数，对函数进行化简整理，可得，求导，利用导数分析函数单调性，进而得证.

（1）由于的定义域为，，

当时，在上为单调函数，此时无最大值；

当时，由得，知在上单调递增，在上单调递减，故为的极大值点.

故，解得：.

综上，当时，有最大值.

（2）当时，.

，由于，则，，

并且在上单调递增，故存在唯一的，使得，

从而，当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增.

故函数存在最小值，结合即，得

.

综上得，对任意的，总存在最小值，且.