Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+1)bn，证明：{b_n}是等差数列；
（3）证明：

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

2

3

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由题设知a_n+1+1=2（a_n+1），所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a_n=2ⁿ-1．
（2）由题设知4(b1+b2++bn-n)=2nbn，由此能推导出nb_n-2=（n-1）b_n+1，从而得到2b_n+1=b_n+b_n-1，所以数列{b_n}是等差数列．
（3）设S=

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

，则S＜

1

a2

+

1

2

(

1

a2

+

1

a3

++

1

an

)=

1

a2

+

1

2

(S-

1

an+1

)，由此能够证明出

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜

2

3

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1）（2分）
故数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1（4分）

（2）∵4b1-14b2-14b3-14bn-1=(an+1)bn，
∴4(b1+b2++bn-n)=2nbn（5分）
2（b₁+b₂++b_n）-2n=nb_n①2（b₁+b₂++b_n+b_n+1）-2（n+1）=（n+1）b_n+1②
②-①得2b_n+1-2=（n+1）b_n+1-nb_n，
即nb_n-2=（n-1）b_n+1③（8分）
∴（n+1）b_n+1-2=nb_n+2④
④-③得2nb_n+1=nb_n+nb_n-1，即2b_n+1=b_n+b_n-1（9分）
所以数列{b_n}是等差数列．

（3）∵

1

an

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2

1

an-1

（11分）
设S=

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

，
则S＜

1

a2

+

1

2

(

1

a2

+

1

a3

++

1

an

)
=

1

a2

+

1

2

(S-

1

an+1

)（13分）
S＜

2

a2

-

1

an+1

=

2

3

-

1

an+1

＜

2

3

（14分）

点评：本题考查数列和不等式的综合应用题，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．