Question

2．已知z=a+bi（a、b∈R⁺），|z|=$\sqrt{2}$．设z、$\frac{1}{z}$在复平面对应的点分别是A、B．
（1）设z′=cosθ+isinθ（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），z•z′在复平面对应的点是A′，求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OA′}$的夹角；
（2）当△OAB（O为坐标原点）为直角三角形时，求a、b的值；
（3）当△ABC为等腰直角三角形（A、B、C按逆时针方向排列，∠B为直角时），求|OC|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据复数乘法的几何意义，z•z′相当于向量$\overrightarrow{OA}$绕点O逆时针旋转θ角，得到$\overrightarrow{OA′}$，即可得出向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OA′}$的夹角；
（2）讨论△OAB为直角三角形时，∠AOB是直角或∠A、∠B为直角时，求出a、b的值；
（3）根据题意，z_AC=z_AB•$\sqrt{2}$（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$），求出z_OC，再求出|OC|²的表达式，计算出|OC|的最大值．

解答 解：（1）∵z=a+bi（a、b∈R⁺），且z′=cosθ+isinθ（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），
∴当z•z′在复平面对应的点是A′时，相当于向量$\overrightarrow{OA}$绕点O逆时针旋转θ角，得到$\overrightarrow{OA′}$，
∴向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OA′}$的夹角为|θ|；
（2）当△OAB（O为坐标原点）为直角三角形时，
$\overrightarrow{OA}$=（a，b），
又$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{a+bi}$=$\frac{a-bi}{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{a-bi}{4}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{a}{4}$，-$\frac{b}{4}$）；
当∠AOB是直角时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$=0，解得a=b=1；
又$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3}{4}$a，-$\frac{5b}{4}$），
当∠A为直角时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即-$\frac{3}{4}$a²-$\frac{5}{4}$b²=0，解得a=b=0，不合题意，舍去；
当∠B为直角时，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{3}{16}$a²+$\frac{5}{16}$b²=0，
即a²=$\frac{5}{3}$b²，
又a²+b²=2，
解得b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
综上，a=1、b=1，或a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$、b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（3）当△ABC为等腰直角三角形，且A、B、C按逆时针方向排列，∠B为直角时，
z_AC=z_AB•$\sqrt{2}$（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）=（-$\frac{3}{4}$a-$\frac{5}{4}$bi）•$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$i）=（-$\frac{3}{4}$a+$\frac{5}{4}$b）-（$\frac{3}{4}$a+$\frac{5}{4}$b）i，
z_OC=（-$\frac{3}{4}$a+$\frac{5}{4}$b）-（$\frac{3}{4}$a+$\frac{5}{4}$b）i+（a+bi）=（$\frac{1}{4}$a+$\frac{5}{4}$b）-（$\frac{3}{4}$a+$\frac{1}{4}$b）i；
∴|OC|²=${（\frac{1}{4}a+\frac{5}{4}b）}^{2}$+${（\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b）}^{2}$=$\frac{5}{8}$a²+$\frac{13}{8}$b²+ab，
又a²+b²=2，∴a²=2-b²，
∴a=$\sqrt{{2-b}^{2}}$，
∴|OC|²=$\frac{5}{8}$（2-b²）+$\frac{13}{8}$b²+b$\sqrt{2{-b}^{2}}$=b²+b$\sqrt{2{-b}^{2}}$+$\frac{5}{4}$，
设b=$\sqrt{2}$sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则$\sqrt{2{-b}^{2}}$=$\sqrt{2}$cosθ，
∴|OC|²=2sin²θ+2sinθcosθ+$\frac{5}{4}$
=（1-cos2θ）+sin2θ+$\frac{5}{4}$
=sin2θ-cos2θ+$\frac{9}{4}$
=$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{9}{4}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2θ∈（0，π），
∴2θ-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴当2θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，
|OC|取得最大值为$\sqrt{\sqrt{2}+\frac{9}{4}}$=$\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查了复数的运算问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．