Question

8．已知P为圆C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一点，Q为直线l：x+y=1上任一点，则$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的最小值为$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$．

Answer 1

分析 先判断直线直线l：x+y=1和圆C相离，设出P、Q的坐标，求得 $\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$ 的坐标，可得 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的解析式，利用 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$ 的几何意义以及二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：圆心C（2，2）到直线l：x+y=1的距离为d=$\frac{|2+2-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$＞1，故直线直线l：x+y=1和圆C相离．
∵P为圆C：（x-2）²+（y-2）²=1上任一点，设P的坐标为（x，y），
∵Q为直线l：x+y=1上任一点，∴可设Q的坐标为（a，1-a），
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$=（x+a，y+1-a），∴$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$=$\sqrt{{（x+a）}^{2}{+（y+1-a）}^{2}}$，
表示点（-a，a-1）到圆C：（x-2）²+（y-2）²=1上的点的距离．
设点（-a，a-1）到圆心C（2，2）的距离为d，则$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的最小值为d-1．
∵d=$\sqrt{{（-a-2）}^{2}{+（a-1-2）}^{2}}$=$\sqrt{{2a}^{2}-2a+13}$=$\sqrt{{2（a-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{25}{2}}$，
故当a=$\frac{1}{2}$时，d最小为$\sqrt{\frac{25}{2}}$，故$|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}|$的最小值为d-1=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$，
故答案为：$\frac{{5\sqrt{2}-2}}{2}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，求向量的模，两点间的距离公式，二次函数的性质，属于中档题．