Question

2．已知集合A={a₁，a₂，…，a_m}．若集合A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n=A，则称A₁，A₂，A₃，…，A_n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．
（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．

Answer 1

分析 （1）设A₁∪A₂={a₁}，得f（2，1）=3； 设A₁∪A₂={a₁，a₂}，得f（2，2）=9；设A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．
（2）猜想f（n，2）=（2ⁿ-1）²，n≥2，n∈N^*，再利用数学归纳法进行证明．

解答 解：（1）设A₁∪A₂={a₁}，共有3种，即f（2，1）=3； …（1分）
设A₁∪A₂={a₁，a₂}，若A₁=∅，则有1种；若A₁={a₁}，则有2种；
若A₁={a₂}，则有2种；若A₁={a₁，a₂}，则有4种；即f（2，2）=9； …（2分）
设A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂}，若A₁=∅，则A₂∪A₃={a₁，a₂}，所以有f（2，2）=9种；
若A₁={a₁}，则A₂∪A₃={a₁，a₂}或A₂∪A₃={a₂}，
所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A₁={a₂}，则有12种；
若A₁={a₁，a₂}，则A₂∪A₃={a₁，a₂}或A₂∪A₃={a₁}或A₂∪A₃={a₂}或A₂∪A₃=∅，
所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…（4分）
（2）猜想f（n，2）=（2ⁿ-1）²，n≥2，n∈N^*，用数学归纳法证明．
当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…（5分）
假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2^k-1）²，
当n=k+1时，A₁∪A₂∪…∪A_k+1={a₁，a₂}
当A_k+1=∅时，A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₁，a₂}，所以有f（k，2）=（2^k-1）²种；
当A_k+1={a₁}时，A₁∪A₂∪…∪A_k={a₁，a₂}，所以有f（k，2）=（2^k-1）²种，
或A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₂}，所以有2^k-1种，共有2^k（2^k-1）种；
同理当A_k+1={a₂}时，共有2^k（2^k-1）种；
当A_k+1={a₁，a₂}时，A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₁，a₂}，所以有f（k，2）=（2^k-1）²种，
或A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k={a₁}，所以有2^k-1种，或A₁∪A₂∪…∪A_k={a₂}，
所以有2^k-1种，或A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_k=∅，所以有1种，共有2^2k种；
则f（k+1，2）=4（2^k-1）²+4（2^k-1）+1=（2^k+1-1）²，
所以，当n=k+1时，结论成立．…（9分）
所以f（n，2）=（2ⁿ-1）²，n≥2，n∈N^*．…（10分）

点评 本题考查函数值的求法，考查函数表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和数学归纳法的合理运用．