Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)过点A（2，3），其一条渐近线的方程为y=

3

x．
（I）求该双曲线的方程；
（II）若过点A的直线与双曲线右支交于另一点B，△AOB的面积为

3

2

，其中O为坐标原点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（I）由已知可设双曲线的方程为(

3

x-y)(

3

x+y)=λ(λ＞0)，由双曲线过点A可求λ，进而可求双曲线的方程
（II）易知OA= 

13

，直线OA的方程为3x-2y=0，设B（x₀，y₀）（x₀≥1），则点B到直线OA的距离d=

|3x0-2y0|

13

又由条件知S△OAB=

1

2

•OA•d=

3

2

可求B及直线方程

解答：解：（I）由已知可设双曲线的方程为(

3

x-y)(

3

x+y)=λ(λ＞0)
即3x²-y²=λ
又由双曲线过点A（2，3），则3×4-9=λ，即λ=3
所以，所求的双曲线的方程为：x2-

y2

3

=1
（II）易知OA= 

13

，直线OA的方程为3x-2y=0
设B（x₀，y₀）（x₀≥1），则点B到直线OA的距离d=

|3x0-2y0|

13

又由条件知S△OAB=

1

2

•OA•d=

3

2

即

1

2

×

13

×

|3x0-2y0|

13

=

3

2

于是|3x₀-2y₀|=3
①若3x₀-2y₀=3由

3x0-2y0=3 x 2 0 - y 2 0 3 =1

得x₀²+6x₀-7=0
解得x₀=1或x₀=-7（舍去），此时y₀=0即B（1，0）
②若3x₀-2y₀=-3由

3x0- 2 y0=-3 x 2 0 - y 2 0 3 =1

得x₀²-6x₀-7=0
解得，x₀=7或x₀=-1（舍去），此时y₀=12，即B（7，12）
所以所求的直线方程为3x-y-3=0或9x-5y-3=0

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是由渐近线方程y=

3

x可设双曲线的方程为(

3

x-y)(

3

x+y)=λ(λ＞0)，而处理直线与曲线方程的位置关系的常见方法是联立方程组，转化为求解方程的问题．