Question

19．设函数f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 配方f（x）=（x-1）²+1，从而讨论区间[t，t+1]和对称轴x=1的关系：t+1≤1，t＜1＜t+1，t≥1，这样根据二次函数f（x）的单调性及端点值和取得顶点情况，即可求出每种情况下的f（x）的值域．

解答 解：f（x）=（x-1）²+1；
①若t+1≤1，即t≤0，则f（x）在[t，t+1]上单调递减；
∴f（t+1）≤f（x）≤f（t）；
∴t²+1≤f（x）≤t²-2t+2；
∴f（x）的值域为：[t²+1，t²-2t+2]；
②t＜1，且t+1＞1，即0＜t＜1时，f（x）≥1；
f（t）-f（t+1）=1-2t；
∴1）1-2t＞0，即$0＜t＜\frac{1}{2}$时，f（t）＞f（t+1）；
∴f（x）的最大值为f（t）=t²-2t+2；
∴f（x）的值域为：[1，t²-2t+2]；
2）1-2t≤0，即$\frac{1}{2}≤t＜1$时，f（t）≤f（t+1）；
∴f（x）的最大值为f（t+1）=t²+1；
∴f（x）的值域为：[1，t²+1]；
③t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增；
∴f（t）≤f（x）≤f（t+1）；
∴f（x）的值域为：[t²-2t+2，t²+1]．

点评 考查函数值域的概念，配方求二次函数值域的方法，根据二次函数单调性及取得顶点情况求函数值域的方法．