Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）设是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数有两个极值点且,若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单增区间为；单调减区间为;(2);（3）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意求解 的解析式，然后求解分式不等式即可得到函数的单调区间；

(2)对导函数分离系数，结合均值不等式的结论讨论实数 的取值范围即可；

(3)利用题意分析所给的问题，构造函数，设设，

讨论函数 的性质即可得到实数 的取值范围.

试题解析：

（1），

令或，

的单调增区间为；单调减区间为.

即，所以，

令在上单调递增，

∴，对恒成立，

,对恒成立，

又 ，当时取等号，

，故.

（3），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，即，所以是方程的两个根，

所以有，

∴

令，则，设，

∴，

∴在上单减，∴，

故.