Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上任意一点，当

|PF1|2

|PF2|

取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，

|PF1|2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF₂|，使用基本不等式求得当

|PF1|2

|PF2|

取得最小值时，|PF₁|和|PF₂|的值，△PF₁F₂  中，由余弦定理可得

c

a

 的最大值．

解答：解：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴

|PF1|2

|PF2|

=

4a2+4a|PF2|+|PF2|2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF₂|≥4a+2

4a2

=8a．
当且仅当

4a2

|PF2|

=|PF₂|，即|PF₂|=2a 时，等号成立，此时，|PF₁|=4a．
△PF₁F₂  中，由余弦定理可得  4c²=16a²+4a²-16a² cos∠F₁ PF₂=20a²-16a² cos∠F₁ PF₂   
≤36a²，故   c²≤9 a²，∴

c

a

≤3，
故答案为：3．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，余弦定理和基本不等式的应用，得到 c²≤9 a²，
是解题的关键．