Question

如图PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．
（II）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：证明：（Ⅰ） 连接PC，交DE于N，连接MN，
在△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点
∴MN∥AC…（2分）
因为MN?面MDE，AC?面MDE，
∴AC∥平面MDE…（4分）
解：（Ⅱ） 以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，

2

a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以

PB

=（a，a，

2

a），

BC

=（-a，a，0），…（6分）
平面PAD的单位法向量为

m

=（0，1，0）…（7分）
设面PBC的法向量

n

=（x，y，1），
则有

n • PB =ax+ay- 2 a=0 n • BC =-ax+ay=0

，
解得：x=y=

2

2

则

n

=（

2

2

，

2

2

，1），…（10分）
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，
∴cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

即平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为

1

2

…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．