题目内容

若向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 都是非零向量，且满足（ $数学公式$ -2 $数学公式$ ）⊥ $数学公式$ ，（ $数学公式$ -2 $数学公式$ ）⊥ $数学公式$ ．求向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 的夹角θ的值．

解：∵（ $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ =0，
（ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得 cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴θ=60°，
故向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角θ的值为60°．
分析：利用两个向量垂直，数量积等于0，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
点评：本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．