Question

已知定义域为R的函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f(x)=

x

x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明方程f（x）=2^1-x在区间（1，2）上有解．

Answer 1

分析：（1）当x＜0时，则-x＞0，故 f(-x)=

-x

-x+1

=

x

x-1

，由 f（x）是偶函数，可得f(x)=f(-x)=

x

x-1

，
从而得到函数的解析式．
（2）令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2），得到 g（1）•g（2）＜0，故方程f（x）=2^1-x在区间（1，2）上有解．

解答：解：（1）当x＜0时，则-x＞0，∴f(-x)=

-x

-x+1

=

x

x-1

，∵f（x）是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=

x

x-1

，∴f(x)=

x x+1 x x-1

(x≥0) (x＜0)

．
（2）令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2）．
∵g(1)=

1

2

-1=-

1

2

＜0，g(2)=

2

3

-

1

2

=

1

6

＞0，∴g（1）•g（2）＜0，
∴方程f（x）=2^1-x在区间（1，2）上有解．

点评：本题考查偶函数的定义，求函数的解析式，函数的零点与方程的根，令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2），得到 g（1）•g（2）＜0，是解题的关键．