Question

6．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上的任意一点，且△PF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左、右顶点分别为A、B，过椭圆C₁上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{OC}$，连接AC交DE于点P，求证：PD=PE．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e，得到a²=4b²，再结合椭圆△PF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{3}$．解得a²，4b²，则椭圆的方程可求；
（2）求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{OC}$，可得D，E，C的坐标的关系，把AC，DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点．

解答 （1）解：由e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆C上的任意一点，且△PF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{3}$．可得2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，
解得c=$\sqrt{3}$，即a=2
∴：a²=4，b²=1，
∴椭圆C₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：由（1）得A（-2，0），B（2，0），
设D（x₀，y₀），∴E（x₀，0），
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴可设C（2，y₁），
∴$\overrightarrow{AD}$=（x₀+2，y₀），$\overrightarrow{OC}$=（2，y₁），
由$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{OC}$可得：（x₀+2）y₁=2y₀，即y₁=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，
∴直线AC的方程为：$\frac{y}{\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}$=$\frac{x+2}{4}$，整理得：y=$\frac{{y}_{0}}{2（{x}_{0}+2）}$（x+2），
点P在DE上，令x=x₀代入直线AC的方程可得：y=$\frac{{y}_{0}}{2}$，
即点P的坐标为（x₀，$\frac{{y}_{0}}{2}$），
∴P为DE的中点
∴PD=DE．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了直线与圆锥曲线相切的条件，训练了利用基本不等式求最值，对于（2）的证明体现了整体运算思想方法，属难度较大的题