Question

已知向量

a

=（cosx，2），

b

=（sinx，-3）．
（1）当

a

∥

b

时，求3cos²x-sin2x的值；
（2）求函数f（x）=（

a

-

b

）•

a

在x∈[-

π

2

，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）直接根据向量共线对应的结论得到tanx=-

3

2

，再结合齐次式的应用即可求出结论；
（2）先根据二倍角公式以及辅助角公式对所求函数进行整理，再结合余弦函数的定义域和值域即可求出结论．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

时，
∴-3cosx=2sinx，
∴tanx=-

3

2

．
3cos²x-sin2x=

3cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

3-2tanx

tan2x+1

=

24

13

．
（2）f（x）=（

a

-

b

）•

a

=cos²x-sinxcosx+10
=

cos2x+1

2

-

1

2

sin2x+10=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

21

2

．
∵x∈[-

π

2

，0]．
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，
∴-

1

2

≤

2

2

cos(2x+

π

4

)≤

2

2

，
∴10≤

2

2

cos(2x+

π

4

)+

21

2

≤

21+ 2

2

，
即f（x）的值域为[10，

21+ 2

2

]．

点评：本题主要考查了平面向量数量积的应用，和两角和公式，二倍角公式的运用．三角函数的基本公式较多，注意多积累．