Question

已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a=1，函数在区间（0，+）上为增函数，求整数m的最大值.

 

Answer 1

(1) 当时，在上为增函数；当时，在为减函数，在为增函数；(2) 的最大值为1．

【解析】

试题分析：(1)讨论函数的单调性首先注意明确函数的定义域，由于该函数是超越函数与一次函数的和构成的，所以考虑用导数，先求出函数的导数得，由指数函数的性质可知要确定导数的正负须按和分类讨论,确定导数的符号而求出函数的单调区间；(2) 函数在区间（0，+）上为增函数在恒成立，分离参数m，从而将所求问题转化为求函数的最值问题，构造新函数，再用导数研究此函数的最小值即可；注意所求的m为整数这一特性．

试题解析：(1)定义域为，，

当时，，所以在上为增函数； 2分

当时，由得，且当时，，

当时，

所以在为减函数，在为增函数． 6分

(2)当时，，

若在区间上为增函数，

则在恒成立，

即在恒成立 8分

令，；

，；令，

可知，，

又当时，

所以函数在只有一个零点，设为，即，

且； 9分

由上可知当时，即；当时，即，

所以，，有最小值， 10分

把代入上式可得，又因为，所以，

又恒成立，所以，又因为为整数，

所以，所以整数的最大值为1． 12分

考点：１．利用函数的导数求单调区间；２．利用函数的导数求最值；３．不等式的恒成立．