题目内容
【题目】若中心在原点的椭圆
与双曲线
有共同的焦点，且它们的离心率互为倒数，圆
的直径是椭圆
的长轴，C是椭圆的上顶点，动直线AB过C点且与圆交于A、B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D．
（1）求椭圆的方程；
（2）求
面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求得双曲线的焦点坐标和离心率，由此求得椭圆
的值，进而求得椭圆标准方程.（2）当直线
斜率不存在时，不能构成三角形
，不符合题意.当直线的斜率存在且不为零时，设出直线的方程，得到直线
的方程，计算圆心
到直线的的距离，由直线和圆相交的弦长公式计算出弦长
.利用直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式，计算出弦长
.由此求得
，利用换元法和基本不等式，求得面积的最大值，根据基本不等式等号成立的条件求得直线的斜率，由此求得直线的方程.当直线的斜率为零时，计算出，不是最大值.
（1）解：双曲线
的焦点为
，离心率为
，
由题意，
，
，解得：
，
.
椭圆方程为
；
（2）解：当直线AB斜率不存在时，不能构成三角形，不符合题意
当AB斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为
，直线CD的方程为
圆心
到直线AB的距离为
，
直线AB被圆
所截得的弦长
，
由
得：
，
，
，
故
，
，
令
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
，
当直线AB斜率为0，即
轴时，
，
面积的最大值为
，这时直线AB的方程为
.
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