Question

函数f(x)=

2x

1+x2

的值域为（　　）

• A、[-1，1]
• B、（-∞，-1]∪[1，+∞）
• C、（-1，1）
• D、（-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：易得当x=0时f（x）=0．当x≠0时，取f（x）的倒数的绝对值利用合基本不等式求最值，可得0＜|f（x）|≤1，解之得-1≤f（x）＜0或0＜f（x）≤1．最后综合可得函数的值域．

解答：解：①当x=0时，可得f（x）=0
②当x≠0时，由f(x)=

2x

1+x2

，可得

1

|f(x)|

=

1+|x|2

2|x|

=

1

2

（

1

|x|

+|x|）
∵

1

|x|

+|x|≥2

1 |x| •|x|

=2，当且仅当

1

|x|

=|x|=1时，即x=±1等号成立．
∴

1

|f(x)|

=

1

2

（

1

|x|

+|x|）≥1，可得0＜|f（x）|≤1
去绝对值，得-1≤f（x）＜0或0＜f（x）≤1．
综上所述，函数f(x)=

2x

1+x2

的值域为[-1，1]
故选：A

点评：本题给出分式函数，求函数在的值域．考查了基本不等式求最值、分式函数值域的求法等知识，属于中档题．