Question

已知正项数列{a_n}中a1=

1

2

，函数f(x)=

2x

1+x

．
（Ⅰ）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N^*），试求出a₂，a₃，a₄．由此归纳出通项a_n，并证明；
（Ⅱ）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N^*），数列{b_n}满足bn=

an

2n+1

，其和为T_n，求证：Tn≤

1

2

-

1

1+2n

．

Answer 1

分析：（I）由递推公式，求出前四项，从而由归纳推理，猜想通项公式，再将递推式变形、证明；
（Ⅱ）由不等关系a_n+1≤f（a_n）和（I）的思路启发，探求a_n的最值，从而过渡得到b_n范围，再用求和公式证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）a2=

2a1

1+a1

=

2× 1 2

1+ 1 2

=

2

3

，a3=

4

5

，a4=

8

9

，
归纳出an=

2n-1

2n-1+1

．…（2分）
证明：∵an+1=

2an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
∴{

1

an

-1}是以

1

a1

-1为首项，

1

2

为公比等比数列
.

1

an

-1=(

1

1 2

-1)•(

1

2

)n-1，
∴an=

2n-1

2n-1+1

，故通项a_n是正确的．…（6分）
（Ⅱ）由an+1≤

2an

1+an

得

1

an+1

-1≥

1

2

(

1

an

-1)，
∴

1 an+1 -1

1 an -1

≥

1

2

，
故

1 a2 -1

1 a1 -1

≥

1

2

，

1 a3 -1

1 a2 -1

≥

1

2

，…，

1 an -1

1 an-1 -1

≥

1

2

，
累乘得

1 an -1

1 a1 -1

≥(

1

2

)n-1，
∴

1

an

-1≥(

1

2

)n-1，
即an≤

1

( 1 2 )n-1+1

，故an≤

2n-1

2n-1+1

．…（10分）

∵bn= an 2n+1 ≤ 2n-1 (2n+1)(2n-1+1) = 1 2n-1+1 - 1 2n+1 ， ∴Tn≤ 1 20+1 - 1 21+1 + 1 21+1 - 1 22+1 +…+ 1 2n-1+1 - 1 2n+1 = 1 2 - 1 2n+1 ，

故Tn≤

1

2

-

1

2n+1．

…（13分）

点评：本题主要考查以函数作载体考查数列的综合交汇，也考查了推理与证明．数列综合题常作压轴题，根据递推关系推性质、求和及证不等式等，根据前几项猜想通项公式，是打开“思路闸门”的好方法，切记合理证明；在非等差、等比的数列中，常通过变形构造出新的等差、等比数列求解，此时注意新数列的首项、末项及公差（比）；数列前项和与不等式的融合，常根据求和公式得到具体表达式，再适当放缩即可，有时需要对源头--通项进行放缩，以便求和及证明．