Question

若数列的前项和是二项展开式中各项系数的和．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，且，求数列 的通
项及其前项和；
（III）求证：．

Answer 1

，

解：（Ⅰ）由题意,                -----------------------------------------------------2分
,
两式相减得．                --------------------3分
当时，,
∴．            --------------------------------------------------4分
（Ⅱ）∵，
∴,
,
,
………
．
以上各式相加得
.
∵  ,
∴.       -----------------------------------------------------------------6分
∴．     -------------------------------------------------7分
∴,
∴.
∴.

=.
∴．  -------------------------------------------------------------9分
（3）=
=4+

=
．  -------------------------------------------12分
∵, ∴需证明，用数学归纳法证明如下：
①当时，成立．
②假设时，命题成立即，
那么，当时，成立．
由①、②可得，对于都有成立．
∴．
∴．---------------------------------------------------------------------------13分