Question

设f（x）=lg（ax²-2x+a），
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax²-2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；
（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的定义域为R，
∴对任意x∈R都有ax²-2x+a＞0恒成立，
则

a＞0 (-2)2-4a2＜0

，解得：a＞1．
∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；
（2）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域为R，
∴ax²-2x+a能取到大于0的所有实数，
则

a＞0 (-2)2-4a2≥0

，解得：0＜a≤1．
∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．