Question

设f（x）=lg（

2

1-x

+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（　　）

• A、（-1，0）
• B、（0，1）
• C、（-∞，0）
• D、（-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，
然后由对数函数的单调性解之．

解答：解：由f（-x）=-f（x），lg(

2

1+x

+a)=-lg(

2

1-x

+a)，

2

1+x

+a=(

2

1-x

+a)-1，即

1-x

2+a-ax

=

2+a+ax

1+x

，
1-x²=（2+a）²-a²x²
此式恒成立，可得a²=1且（a+2）²=1，所以a=-1
则f(x)=lg

1+x

1-x

＜0
即

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

解得-1＜x＜0
故选A

点评：本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性．