Question

设f（x）=lg[

1+2x+4xa

3

]，其中a∈R，如果当x∈（-∞，1）时，f（x）有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析：当a=0时，真数

1+2x

3

恒大于0，成立；当a≠0时，x＜1，0＜2^x≤2¹=2，设b=2^x，则4^x=b²，0＜b≤2，

1+2x+4xa

3

=

ab2+b+1

3

＞0，即ab²+b+1＞0，所以a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞0．由此进行分类讨论，能够求出a的取值范围．

解答：解：当a=0时，真数

1+2x

3

恒大于0，成立；
当a≠0时，
x＜1，0＜2^x≤2¹=2
设b=2^x，
则4^x=b²，0＜b≤2，

1+2x+4xa

3

=

ab2+b+1

3

＞0，
即ab²+b+1＞0，
a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞0，
当0＜b≤2时成立，
当-

1

2a

≤0，a＞0时，
则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向上，-

1

2a

≤0＜b≤2，
∴二次函数是增函数，
∴f（b）=a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞f（0）=1＞0，成立．
当0＜-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

时，
则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向下，
且b=2时有最小值
∴f（2）=4a+3＞0，a＞-

3

4

，
∴-

3

4

＜a≤-

1

2

．
当1＜-

1

2a

≤2，-

1

2

＜a≤-

1

4

时，
则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向下，
且b=0时有最小值，但b不取0
∴f（0）=1＞0，成立．
-

1

2

＜a≤-

1

4

．
当-

1

2a

＞2，-

1

4

＜a＜0时，
则a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1开口向下，
0＜b≤2＜-

1

2a

，
∴f（b）是增函数
∴f（b）＞f（0）=1＞0，成立
∴-

1

4

＜a＜0．
综上所述：a＞-

3

4

．

点评：本题考查对数函数的图象和性质的综合运用，综合性强，难度较大．解题时要认真审题，注意换元思想、整体思想和分类讨论思想的灵活运用．易错点是分类不清，考虑不全，造成“会而不对，对而不全”的错误．