Question

（2012•湖南模拟）选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
（1）如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，试求BD的长．
（2）已知曲线C的参数方程为

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数），求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值．
（3）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，当且仅当

a

x

=

b

y

时上式取等号．请利用以上结论，求函数f（x）=

2

x

+

9

1-2x

（x∈0，

1

2

）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求得AB的长，再根据切割线定理解答．
（2）把极坐标方程化为直角坐标方程，出圆心（1，0）到直线x-y+1=0的距离，将此距离加上半径即得所求．
（3））f（x）=

2

x

+

9

1-2x

转化为f（x）=

4

2x

+

9

1-2x

，再利用给出的不等式性质求解．

解答：解：（1）∵AC=4，BC=3，
根据勾股定理得AB=5；
根据切线长定理，BC²=BD•BA，
∴3²=BD•5，
∴BD=1.8
（2）将曲线C的参数方程

x=1+cosθ y=sinθ

化为直角坐标方程得（x-1）²+y²=1，
圆心（1，0）到直线x-y+1=0的距离为d=

|1+0+1|

2

=

2

．
所求最大距离为d+r=

2

+1．
（3）f（x）=

2

x

+

9

1-2x

=

4

2x

+

9

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25，
当且仅当

2

2x

=

3

1-2x

，x=

1

5

时取等号．

点评：（1）本题考查与圆有关的线段长度求解，用到了切线长定理．应熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．
（2）本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求出圆心（1，0）到直线直线x-y+1=0的距离，是解题的关键．
（3）本题考查不等式性质的应用：求最值．要创造出满足性质的条件，准确应用性质求解．