Question

（选做题）请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
A．选修4-1（几何证明选讲）已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切与点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．
（Ⅰ）求证：BA•DC=GC•AD；（Ⅱ）求BM．
B．选修4-4（坐标系与参数方程）求直线（t为参数）被曲线所截的弦长．
C．选修4-5（不等式选讲）（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）已知a≠b，求证：a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．

Answer 1

【答案】分析：A．（Ⅰ）因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°因为∠BAG=∠ADC，所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以，由此能够证明BA•DC=GC•AD．
（Ⅱ）因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以，由Rt△AGB∽Rt△DCA，所以，所以圆的直径2r=15，由此能求出BM．
B．由得直线的普通方程为3x+4y+1=0，由，得，再由点到直线的距离公式能名求出所求的弦长．
…（12分）
C．（Ⅰ）函数定义域为[5，6]，y＞0．由，能求出y_max．
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）=（a-b）⁴，由此能够证明a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．
解答：A．（Ⅰ）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°
又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°
又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以
又因为OG⊥AC，所以GC=AG
所以，即BA•DC=GC•AD…（6分）
（Ⅱ）解：因为AC=12，所以AG=6，
因为AB=10，所以
由（1）知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以
所以AD=15，即圆的直径2r=15
又因为AB²=BM•（BM+2r），即BM²+15BM-100=0
解得BM=5．…（12分）
B．解：由得直线的普通方程为3x+4y+1=0，
∵，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ∴x²+y²=x-y，
即，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
∴所求的弦长为．
…（12分）
C．解：（Ⅰ）函数定义域为[5，6]，y＞0．
∵
当且仅当x-5=6-x时，即当时，
y_max=5．…（6分）
（Ⅱ）a⁴+6a²b²+b⁴-4ab（a²+b²）

=（a²-b²）²-4ab（a-b）²=（a+b）²（a-b）²-4ab（a-b）²
=（a-b）²（a²+2ab+b²-4ab）=（a-b）²（a-b）=（a-b）⁴
∵a≠b，
∴
∴a⁴+6a²b²+b⁴＞4ab（a²+b²）．…（12分）
点评：A考查直线与圆的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质和应用；
B考查参数方程和极坐标，是基础题．解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的灵活运用；
C考查不等式的性质和证明，是基础题．解题时要认真审题，注意作差法在不等式证明中的灵活运用．