Question

已知圆C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=

4 5

5

，求m的值．
（3）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由方程x²+y²-2x-4y+m=0配方为（x-1）²+（y-2）²=5-m．由于此方程表示圆，可得5-m＞0，解出即可；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利OM⊥ON得y₁y₂+x₁x₂=0
，即可解出m．

解答： 解：（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0，可化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∵此方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5．
（2）圆的方程化为  （x-1）²+（y-2）²=5-m，圆心 C（1，2），半径 r=

5-m

，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为 d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

由于|MN|=

4

5

，则

1

2

|MN|=

2

5

，有r2=d2+(

1

2

|MN|)2，∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，得m=4．
（3）由

x2+y2-2x-4y+m=0 x+2y-4=0

消去x得（4-2y）²+y²-2×（4-2y）-4y+m=0，
化简得5y²-16y+m+8=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

16

5

①，y₁y₂=

m+8

5

②
由OM⊥ON得y₁y₂+x₁x₂=0
即y₁y₂+（4-2y₁）（4-2y₂）=0，
∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0．
将①②两式代入上式得16-8×

16

5

+5×

m+8

5

=0，
解之得m=

8

5

．

点评：本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．