题目内容

抛物线P：x2=2py上一点Q（m，2）到抛物线P的焦点的距离为3，A、B、C、D为抛物线的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D（x0，y0）， B（x1，y1）， C（x2，y2），-x0＜x1＜x0＜x2，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线。
（1）求p的值；
（2）证明：∠BAC的角平分线在直线AD上；
（3）如果点D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m+n=|AD|，△ABC的面积为48，求直线BC的方程。

解：（1）∵|QF|=3=2+
∴p=2。
（2）抛物线方程为
A（），D（），B（），C（）
∵
∴
∴
∵

∴
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，
所以
所以的角平分线在直线AD上。
（3）设，则m=n=|AD|sinα
∴
∵
∴
∴
即
把与抛物线方程联立得
∴
∴
同理可得
∵
∴
∴
∴
∴
∴。
练习册系列答案
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精英家教网如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=4
10
．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p＞0）上，其中，点C满足
OC
=
OA
+
OB
（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
精英家教网如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，2p）时，|AB|=4
10
，求此时抛物线的方程．
如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．
（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当d-|PF|=
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时，求抛物线方程；
（2）若M（2，-2），求线段AB的长；
（3）求M到直线AB的距离的最小值．

（08年山东卷理）(本小题满分14分)

如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

 

如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.