题目内容
如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,2p)时,|AB|=4
10 |
分析:(Ⅰ)设出A,B的坐标,对抛物线的方程进行求导,求得AM和BM的斜率,因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程,联立求得2x0=x1+x2.判断出三者的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得x0,代入椭圆和直线的方程整理求得x1+x2和x1x2的值,表示出直线AB的斜率,最后利用弦长公式建立等式求得p,则抛物线的方程可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得x0,代入椭圆和直线的方程整理求得x1+x2和x1x2的值,表示出直线AB的斜率,最后利用弦长公式建立等式求得p,则抛物线的方程可得.
解答:解:(Ⅰ)证明:由题意设A(x1,
),B(x2,
),x1<x2,M(x0,-2p).
由x2=2py得y=
,得y′=
,
所以kMA=
,kMB=
.
因此直线MA的方程为y+2p=
(x-x0),直线MB的方程为y+2p=
(x-x0).
所以
+2p=
(x1-x0),①
+2p=
(x2-x0).②
由①、②得
=x1+x2-x0,因此x0=
,即2x0=x1+x2.
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:x12-4x1-4p2=0,x22-4x2-4p2=0,所以x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,
因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,又kAB=
=
=
,所以kAB=
.
由弦长公式得|AB|=
=
.又|AB|=4
,
所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
| ||
2p |
| ||
2p |
由x2=2py得y=
x2 |
2p |
x |
p |
所以kMA=
x1 |
p |
x2 |
p |
因此直线MA的方程为y+2p=
x1 |
p |
x2 |
p |
所以
| ||
2p |
x1 |
p |
| ||
2p |
x2 |
p |
由①、②得
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:x12-4x1-4p2=0,x22-4x2-4p2=0,所以x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,
因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,又kAB=
| ||||||||
x2-x1 |
x1+x2 |
2p |
x0 |
p |
2 |
p |
由弦长公式得|AB|=
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
1+
|
16+16p2 |
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所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.注重了考生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力.
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