题目内容

精英家教网如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.
(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,2p)时,|AB|=4
10
,求此时抛物线的方程.
分析:(Ⅰ)设出A,B的坐标,对抛物线的方程进行求导,求得AM和BM的斜率,因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程,联立求得2x0=x1+x2.判断出三者的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得x0,代入椭圆和直线的方程整理求得x1+x2和x1x2的值,表示出直线AB的斜率,最后利用弦长公式建立等式求得p,则抛物线的方程可得.
解答:精英家教网解:(Ⅰ)证明:由题意设A(x1
x
2
1
2p
),B(x2
x
2
2
2p
),x1x2,M(x0,-2p)

由x2=2py得y=
x2
2p
,得y′=
x
p

所以kMA=
x1
p
kMB=
x2
p

因此直线MA的方程为y+2p=
x1
p
(x-x0)
,直线MB的方程为y+2p=
x2
p
(x-x0)

所以
x
2
1
2p
+2p=
x1
p
(x1-x0)
,①
x
2
2
2p
+2p=
x2
p
(x2-x0)
.②
由①、②得
x1+x2
2
=x1+x2-x0
,因此x0=
x1+x2
2
,即2x0=x1+x2
所以A,M,B三点的横坐标成等差数列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x0=2时,
将其代入①、②并整理得:x12-4x1-4p2=0,x22-4x2-4p2=0,所以x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,
因此x1+x2=4,x1x2=-4p2,又kAB=
x
2
2
2p
-
x
2
1
2p
x2-x1
=
x1+x2
2p
=
x0
p
,所以kAB=
2
p

由弦长公式得|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+
4
p2
16+16p2
.又|AB|=4
10

所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.注重了考生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网