Question

4．已知P是△ABC外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，PA=1cm，PB=2cm，PC=3cm，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由已知利用勾股定理可求AB，AC，BC的值，利用余弦定理可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵P是△ABC外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，PA=1cm，PB=2cm，PC=3cm，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{5+10-13}{2×\sqrt{5}×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{10}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{7}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了勾股定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．