Question

14．已知f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）求证：f（x）是定义域内的增函数；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求导，根据在定义域R上，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定义域R上的增函数；
（2）由（1）可得当x∈[0，1]时，f（x）为增函数，求出函数的最值，可得函数的值域．

解答 证明：（1）∵f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
∴f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{{（2}^{x}+1）^{2}}$．
在定义域R上，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是定义域R上的增函数-------（8分）    
解：（2）由（1）可得当x∈[0，1]时，f（x）为增函数，
故当x=0时，f（x）取最小值0，
当x=1时，f（x）取最大值$\frac{1}{3}$，
即当x∈[0，1]时，求f（x）值域为[0，$\frac{1}{3}$]-------（12分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数的值域，难度中档．