Question

已知椭圆E的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆E过点；斜率为k（k＞0）的直线l过点A（0，2），为直线l的一个法向量，坐标平面上的点B满足条件．
（1）写出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离；
（2）若椭圆E上恰好存在3个这样的点B，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由长轴是短轴的2倍得a、b的一个方程，然后根据椭圆E过点（，）得a、b的另一个方程，则解方程组求得a、b，进而求得椭圆E的方程；由直线l过点A（0，2），且斜率为k（k＞0），设其斜截式为y=kx+2，然后取该直线的一个法向量（k，-1），再设点B的坐标为B（x，y），则根据||=||得k、x、y间关系式，而点B（x，y）到直线y=kx+2的距离恰好由前面k、x、y间的关系式变形可得，则问题解决．
（2）由（1）知，椭圆E上恰好存在3个这样的点B，表示与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点，则其中一条必与椭圆E相切，把它作为问题的切入点，则由该直线方程y=kx+t与椭≥圆方程联立方程组，根据△=0可求得k、t的一个关系式，再由两平行线间距离公式得k、t的另一个关系式，则解方程组求得k、t，最后注意检验把不符号要求的答案舍去．
解答：解：（1）由题意得解得a²=4，b²=1，
∴椭圆E方程为：．
直线l的方程为y=kx+2，其一个法向量，设点B的坐标为B（x，y），由及得，
∴B（x，y）到直线y=kx+2的距离为．
（2）由（1）知，点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点，即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点．
设与直线l平行的直线方程为y=kx+t
由得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=16（1+4k²-t²）①
当△=0时，②
又由两平行线间的距离为1，可得③
把②代入③得，即3t²-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0
解得t=1，或
当t=1时，代入②得k=0，与已知k＞0不符，不合题意；
当时，代入②得，代回③得或
当，时，由①知△＞0
此时两平行线和，与椭圆E有三个交点，
∴．
点评：本题考查椭圆的标准方程及点到线的距离公式，同时综合考查直线与椭圆的位置关系问题．