Question

已知，且．

(1)设g(x)=f[f(x)]，求g(x)的解析式；

(2)设h(x)=g(x)－λf(x)，试问：是否存在实数λ，使h(x)在(－∞，－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由题意得， ，∵， ∴，∴，即c=1． ∴，． (2)． 若满足条件λ存在，则，∵函数h(x)在(－∞，－1)内为减函数， ∴当x＜－1时，对x∈(－∞，－1)恒成立． ∴．∵x＜－1，∴． ∴2(2－λ)≥－4，解得λ≤4．　　　　　　　　　　　　　　　　　① 又函数h(x)在(－1，0)内是增函数，∴－1＜x＜0时，恒成立． ∴．∵－1＜x＜0，∴． ∴2(2－λ)≤－4，解得λ≥4．　　　　　　　　　　　　　　　　　② 由①②得λ=4时，h(x)在(－∞，－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数．故满足题设条件的λ存在，且λ=4．

提示：

解析：本题的第(1)小题可直接由题设求出g(x)解析式，第(2)小题先根据(1)写出h(x)，对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证．