Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5cos²x+．
（1）确定函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度，所得图象关于y轴对称，求φ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为5sin（2x-），令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，
求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间．
（2）平移后得到函数y=5sin（2x+2∅-）的图象，其对称轴方程为2x+2∅-=kπ+，k∈z，再由对称轴为y轴可得∅=+，再由0＜φ＜可得∅的值．
解答：解：（1）函数f（x）=5sinxcosx-5cos²x+=sin2x-（1+cos2x）+
=5（sin2x-cos2x）=5sin（2x-）．
令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度，得函数y=5sin[2（x+∅）-]=5sin（2x+2∅-）的图象，其对称轴方程为2x+2∅-=kπ+，k∈z，
再由对称轴为y轴可得∅=+．
再由0＜φ＜可得∅=．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的对称性、单调性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．