Question

已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n

，Tn=b1+b2+…+bn，，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，所以f（x）=log₃（2x-1），由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

2n-1

2n

，得Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

++

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，再由错位相减法能够得到T_n．

解答：解：（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，解得

a=2 b=-1

，∴f（x）=log₃（2x-1）an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*
（2）由（1）得bn=

2n-1

2n

，∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

++

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

++

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②；
①-②得

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

++

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

21

+(

1

21

+

1

22

++

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

点评：本题考查数列的递推公式和前n项和的求解，解题时要认真审题，注意函数思想和错位相减求和法的合理运用．