Question

若0＜x＜

π

2

，则2x与3sin x的大小关系（　　）

• A、2x＞3sin x
• B、2x＜3sin x
• C、2x=3sin x
• D、与x的取值有关

Answer 1

考点：三角函数线

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：将不等式问题转化为函数问题，令f（x）=2x-3sinx，用导数法判断即可．

解答： 解：设g（x）=2x-3sinx，则g′（x）=2-3cosx，
当0＜x＜arccos

2

3

 时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，g（x）＜g（0）=0，∴2x＜3sinx；
当arccos

2

3

＜x＜

π

2

时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，但g（arccos

2

3

）＜0，g（

π

2

）＞0，
∴在区间[arccos

2

3

，

π

2

）有且仅有一点θ使g（θ）=0；
当arccos

2

3

≤x＜θ时，g（x）＜g（θ）=0，2x＜3sinx；
当θ＜x＜

π

2

时，g（x）＞g（θ）=0，2x＞3sinx；
∴当 0＜x＜θ 时，2x＜3sinx；
当 x=θ 时，2x=3sinx；
当 θ＜x＜

π

2

时，2x＞3sinx．
故选：D．

点评：本题考查了用函数的单调性研究不等式的问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．