Question

1．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线的方程为x-2y=0，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，又由离心率公式e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$计算可得e的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由题意，该双曲线的一条渐近线的方程为x-2y=0，即y=$\frac{1}{2}$x，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
则e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，则有e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键要掌握双曲线的渐近线方程以及离心率的计算公式．